[Challenge] Enigmes & Casse-têtes divers

[mufftii]

Un cycliste entraîné part du point A à 16h30 le 21 Mars.
Il est concentré sur sa course . Rien ne saurait le distraire : ni les primevères naissantes , ni les vaches qui le regardent passer , ni les piétonnes qui l'encouragent.
D'ailleurs la route est tellement vallonnée qu'il n'y a aucune portion plate où il pourrait s'arrêter.
Quoi qu'il arrive , il conserve sa cadence : 20 km/h dans les montées et 80 km/h dans les descentes.
Arrivé au point B il fait aussitôt demi-tour et , toujours en forme , revient en A qu'il atteint quand le soleil disparaît à l'horizon.
Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

[Igor Poulpupov]

Je ne vois pas trop où pourrait être le piège, donc ma réponse est:

Spoiler Alert !

étant donné qu'en faisant l'aller retour il fait autant de descente que de montée - c'est à dire moitié moitié, il roule à la moyenne des vitesses citées : 50km/h, ce qui est vachement rapide je pense.

Edit: Et j'ai faux

Edit 2: et donc je modifie ma réponse à 18h56:

Spoiler Alert !

32 km/h ? Et je vais réfléchir à la démonstration...

[mufftii]

La première réponse est fausse ( mais c'est une erreur classique ) .
Pour la deuxième ... Argumente-nous donc ça avec un raisonnement pertinent .

[stephcout]

Un cycliste entraîné part du point A à 16h30 le 21 Mars.
Il est concentré sur sa course . Rien ne saurait le distraire : ni les primevères naissantes , ni les vaches qui le regardent passer , ni les piétonnes qui l'encouragent.
D'ailleurs la route est tellement vallonnée qu'il n'y a aucune portion plate où il pourrait s'arrêter.
Quoi qu'il arrive , il conserve sa cadence : 20 km/h dans les montées et 80 km/h dans les descentes.
Arrivé au point B il fait aussitôt demi-tour et , toujours en forme , revient en A qu'il atteint quand le soleil disparaît à l'horizon.
Quelle a été sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours ?

Spoiler Alert !

32 km/h

désolé , j'avais pas vu la deuxiéme réponse

[mufftii]

@ Stephcout :

Astuce: utiliser également les balises [ QUOTE ] ... [ /QUOTE ] au sein des balises [spoiler] pour éviter que la solution proposée n'apparaisse en clair (malgré les balises [spoiler]) dans les "nouveaux messages" du forum.

Belg@r@th dixit .

[Igor Poulpupov]

Oui, tu m'as bien eu. Voilà pour une démonstration mathématique, que j'ai mis 3 plombes à pondre, je pense qu'il y a moyen d'expliquer ça plus simplement, là c'est moche :

Spoiler Alert !

Soit d la durée de parcours, en heures. Soit tm le temps passé en montée et td le temps passé en descente. On a donc :
tm+td=d
Mais aussi, vu que le cycliste fait un aller-retour, il fait autant de montée à 20km/h que de descente à 80km/h (on peut noter x la distance totale parcourue en d heures, pour mieux comprendre) :
20tm=80td=x/2
A partir de là, c'est une classique résolution de système de 2 équations à 2 inconnues: 20tm-80td=0 et tm+td=d. On peut par exemple multiplier la 2nde équation par 80 et lui ajouter la 1ere équation pour trouver tm=4d/5 et par suite td=d/5.
La distance parcourue est donc au final
4d/5*20+d/5*80=32d km
et en divisant par la durée d on retrouve la vitesse, de 32km/h...

Mais bon, en pratique ce que j'ai fait c'est que j'ai pris 3 exemples au pif et j'ai toujours trouvé la même vitesse. Par exemple si la distance de A à B est de 100km et que le cycliste fait (par exemple) 80km de descente à l'aller (en 1h), puis 20km de montée (en 1h), au retour il fera 20km de descente en 1/4 d'heure et 80km de montée ensuite en 4h. Total: 200km en 6h15, ce qui fait bien 32km/h.

[Rag'd]

Je suis d'accords avec la 2éme. Oui, oui, je fais la voiture balais

Igor qui aime compliquer les choses

Spoiler Alert !

à 80 km/h tu fais 4 fois plus de distance qu'à 20 donc la moyenne (20 + 20 + 20 +20 + 80) / 5 = 32

[Igor Poulpupov]

J'étais parti sur une démonstration expliquée comme ça, mais ça me semble pas clair du tout en fait.

[Rag'd]

Tu as raison, l'important c'est de ne de pas se dégonfler, sinon tu fais du 0 je parle du vélo hein

Allez mufftii tu valides qu'Igor nous propose son énigme

[stephcout]

Je vous donne ici une explication plus mathématique, vous remarquerez que le temps et la distance n'ont aucune importance.

Spoiler Alert !

Soit d la distance du parcours de A vers B
t1 le temps mis à l'aller
t2 le temps mis au retour
T le temps total sur l'aller-retour..
v1 la vitesse moyenne à l'aller
v2 la vitesse moyenne au retour
V la vitesse moyenne sur l'aller-retour.

v1 = 20 km/h
v2 = 80 km/h

v1 = d/t1 <=> t1 = d/v1
v2 = d/t2 <=> t2 = d/v2
V = 2d/T

T = t1 + t2

V = 2d/(t1 + t2) = 2d/ ( d/v1 + d/v2)
V = 2d/ (d*(1/v1 + 1/v2))
V = 2/(1/v1 + 1/v2)
V = 2v1v2/(v1 + v2)

V = 2*20*80/(20+80)
V= 32 km/h

[Rag'd]

Bah, je préfère ma démo . La simplicité n'est pas une acescence de démonstration, non ?

[stephcout]

Bah, je préfère ma démo . La simplicité n'est pas une acescence de démonstration, non ?

D'accord, mai ta démo est facilité car 80 est un multiple de 20. Essaye avec 3 et 7 par exemple.

[Rag'd]

OK, mais rien ne m'oblige à généraliser pour démontrer l'énigme proposée.

[Igor Poulpupov]

Je préfère la démo de Steph, même avec 20 et 80. Je trouve que même si l'esprit "barycentre de vitesses" (qu'on retrouve aussi dans la dernière équation de ma démo) y est, la phrase de Rag'd a quelque chose de pas clair. Et j'avais essayé de tourner une phrase de ce type de plusieurs façons en voulant écrire ma démo, j'ai jamais trouvé de solution satisfaisante...
Bon, par contre Steph, tu as implicitement confondu "aller/retour" avec "montée/descente" (dont tu ne parles jamais), du coup on perd une partie de l'énigme. Les définitions de t1, t2, v1, v2 sont facilement changeables, mais pour d il y aurait besoin d'une phrase explicative en plus pour la redéfinir.
Bref, je m'accorde un 20/20 (bah oui, quand même), 15/20 à Steph et 12/20 à Rag'd. Et je note large.

[stephcout]

Non, car le but est de trouver la solution avec une démonstration.
Ma solution était juste pour monter une réponse valable quelque soit les données du problème (c'est pour info)