[Challenge] Enigmes & Casse-têtes divers

[batjijo]

[Rag'd]

Et à la fin on obtient du muguet ?

[Igor Poulpupov]

... J'ai comme l'impression que vous aimez pas la géométrie dans l'espace. Bizarre.
Une solution possible (autre que poser les coordonnées des points) est d'écrire les différentes données du problème en termes d'égalités de vecteurs. La solution viendra normalement en quelques lignes. Ca fait intervenir une égalité plus astucieuse que les autres.

A la fin, on obtient la satisfaction de toujours savoir faire de la géométrie 3D de lycée, un point et le droit de chercher une nouvelle énigme à poser. ... Zut j'aurai pas dû le dire ça.

[batjijo]

J'ai bientôt 50 balais, les cours sont très très loin derrière moi et je n'ai jamais étudié ça alors voila

[Belg@r@th]

Confidence pour confidence, j'ai toujours été une quiche en géométrie dans l'espace...

Je crains de ne pas être d'une très grande aide pour celle-là...

[mufftii]

ça fait plus de trois jours, voici ma réponse :

Spoiler Alert !

Les coordonnées sont : (2/5;2/5)

Et une explication, même si ce n'est pas celle attendue :

Spoiler Alert !

1) Tout point de l'espace est barycentre (ou centre d'inertie) des 4 points A,B,C,D affectés d'un coefficient. ( le "poids" ou la "masse" )
Ces coefficients sont définis à un facteur multiplicatif près.
Par exemple, le barycentre de (A;1) (B,2) (C,3) (D,4) est aussi barycentre de (A;2) (B;4) (C;6) (D;8).
Les poids ont doublé, mais le centre d'inertie ( ou centre d'équilibre ) est le même.

2) E est le milieu de [AB] donc barycentre de (A;a) (B;a). (mêmes poids)
Donc le système (A;a) (B;a) est équivalent à (E;2a). ( le poids total est inchangé )

3) G est centre de gravité - ou isobarycentre - du triangle ECD. G est barycentre de (E;1) (C;1) (D;1)
D'après la remarque précédente, G est barycentre de (A;1/2) (B;1/2) (C;1) (D;1) ou pour simplifier de (A;1) (B;1) (C;2) (D;2)

4) Si on note provisoirement M le barycentre de (B;1) (C;2) (D;2) alors M est dans le plan BCD (forcément).
De plus G est barycentre de (A;1) (M;5). Donc A,G,M sont alignés et M est le point F qui nous intéresse.

5) Conclusion : F est barycentre de (B;1) (C;2) (D;2) (poids total : 5 )
On passe aux vecteurs (soulignés) en partant de B :
5BF = 1BB + 2BC + 2BD . Et comme BB = 0
BF = 2/5 BC + 2/5 BD . D'où la réponse.

Evidemment, c'est un peu long et ça peut sembler compliqué au premier abord.
Mais vous constaterez qu'il n'y a aucun calcul, ni aucune équation.

[batjijo]

Merci Mufftii, tu m'évite le suicide

[mufftii]

J'ai édité mon message précédent, avec un essai d'explication.
Mais c'était long à écrire.

[batjijo]

Bin même sans calcul ni équation, j'ai mal à la tête rien que de lire ton explication

Enfin si on ne baigne pas dedans ce n'est pas simple d'accès du moins en ce qui me concerne

[Igor Poulpupov]

Intéressante démonstration mufftii. Je me rappelle pas avoir jamais utilisé des barycentres comme ça, mais en fait j'ai peu de souvenirs de géométrie de l'époque, juste quelques principes de base.
C'est sûr que si on a pas fait de géométrie depuis très longtemps, et encore plus quand on a jamais abordé les vecteurs, on peut difficilement répondre...
Bref le point va à l'enseignant :

Spoiler Alert !

(\ 51 Points /)
Mufftii

(\ 48 Points /)
Igor

(\ 29 points /)
Rag'd

(\ 25 Points /)
Stephcout

(\ 19 Points /)
Belg@r@th

(\ 14 Points /)
Guil

(\ 6 Points /)
GT400 , Groovykid

(\ 5 Points /)
Batjijo

(\ 4 points /)
Azur

(\ 3 Points /)
Madyoyo

PEONS (\ 1 Point /)
Stephh , Shai-la , Q-Bert , reggio52

Solution alternative avec les vecteurs :

Spoiler Alert !

Rappel (ou pas) : un vecteur permet de décrire des informations de longueur, de direction et de sens.
Par exemple (mieux vaut suivre sur la figure), E étant le milieu de [AB], on a AE=EB (même longueur, sur la même droite donc même direction, même sens), on a AE=-BE (même longueur et direction mais sens opposés) et on a AE=AB/2 (même direction, même sens, longueur deux fois moindre).
On a une propriété très simple à voir et bien pratique du style AB+BD=AD : la somme de deux vecteurs, le premier "finissant" par un point et l'autre "commençant" par le même point, ça donne le vecteur avec les deux autres points (cette phrase est très, très mal écrite, mais vous comprenez le truc par l'exemple). Je vais me servir plusieurs fois de cette propriété.

Traduction de l'énoncé avec des vecteurs :

• E milieu de [AB] : AE=EB=AB/2.
• J milieu de [CD] : CJ=CD/2.
• G centre de gravité de ECD (et J milieu de [CD]) : EG=2/3*EJ (propriété la plus connue du centre de gravité).
• F est sur la droite (AG) : il existe k un nombre réel tel que AF=k*AG (c'est l'écriture plus astucieuse que j'évoquais).
• F est sur (BCD) : il existe a et b réels tels que BF=a*BC+b*BD (c'est les facteurs qu'on doit déterminer).

*************************
La démonstration commence en fait ici et est quasiment toute en équations parce que les équations, c'est bon (et c'est clair). Sur une copie, j'aurai mis quasi que les équations en fait.
La question revient donc à décomposer BF en fonction de BC et BD. J'ai choisi de passer par le point A vu le quatrième point de ma liste :
BF=BA+AF
BF=BA+k*AG
BF=BA+k*(AE+EG)
BF=BA+k*(AB/2+2/3*EJ)
BF=BA+k*(AB/2+2/3*EB+2/3*BJ)
BF=BA+k*(AB/2+2/3*AB/2+2/3*BC/2+2/3*BD/2) (voir plus bas)
BF=(1-k/2-k/3)*BA + k/3*BC + k/3*BD

1-k/2-k/3=0 car F est sur (BCD) : pas de composante en BA.
Donc 6-3k-2k=0, donc k=6/5. On retrouve (magie) notre facteur k.

En remplaçant dans la dernière équation sur BF :
BF=2/5*BC+2/5*BD, c'est ce qu'on cherchait à trouver : les coordonnées de F dans le repère sont (2/5; 2/5).

("plus bas") Je reviens quand même sur BJ=BC/2+BD/2 en reprenant les propriétés exactement comme listées...
BJ=BC+CJ
BJ=BC+CD/2
BJ=BC+CB/2+BD/2
BJ=BC-BC/2+BD/2
BJ=BC/2+BD/2

[mufftii]

Pour ceux qui ont suivi, (?) je rajoute :

Spoiler Alert !

G est barycentre de (A;1) (F;5) donc AG = 5/6 AF et donc AF = 6/5 AG

[Igor Poulpupov]

Ca montre bien à quel point les deux solutions sont en fait semblables. Celle avec les barycentres est nettement plus élégante, celle avec les vecteurs est plus bourrin mais elle a l'avantage d'utiliser des choses que je connais encore bien (et moins avancées je pense?).

[Rag'd]

Je me contente des vecteurs en 2D pour le moment
Beau problème qui sort un peu de l'ordinaire sinon

[mufftii]

On étudiait encore les barycentres au lycée il y a quelques années, en S évidemment mais aussi en ES spécialité maths. (les pauvres, pour quoi faire ?)

[Igor Poulpupov]

Ce que je me disais c'est que les vecteurs sont en pré-requis aux barycentres : si tu comprends pas les vecteurs, tu comprends pas les barycentres. Si tu comprends pas les barycentres, ça t'empêche pas de comprendre les vecteurs (il me semble).
J'étais persuadé que les barycentres étaient encore au programme au lycée, mais en fait non...
Pour ta parenthèse, je m'y connais pas, mais j'imaginerais bien que des techniques d'éco se basent sur des barycentres, pour équilibrer des budgets dans un sens ou dans l'autre, des trucs dans le genre.

@ Rag'd : à vrai dire, je trouve pas les vecteurs plus compliqués en 3D qu'en 2D, en tout cas pas quand on n'a pas à décomposer sur les 3 composantes, comme ici. Après, ce qui est plus dur en 3D, c'est souvent de "voir" les choses et les combinaisons possibles sur les figures.